Skripsi Matematika BAB III

BAB 3

BEBERAPA METODA UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET EULER

Seperti yang telah ditulis sebelumnya, deret Euler berbentuk:

Pada bab ini, akan dibahas beberapa metoda untuk menentukan jumlah deret Euler.

3.1 Metoda Pertama

Metoda pertama yang digunakan untuk menghitung jumlah deret Euler ini menggunakan konsep dasar deret pangkat/fungsi sin x dan akar-akar dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan paparan berikut ini.

Pandang deret taylor untuk  f(x)=sin x sebagai berikut :

kedua ruas dibagi dengan  , sehingga diperoleh :

Tulislah , maka pembuat nol (akar) dari fungsi f adalah  .

Ini berarti bentuk f(x) dapat ditulis sebagai :

sehingga:

                  (3.1)

Lemma: Suku banyak f(x) berderajat n yang berbentuk :

memiliki akar-akar .

Maka :

Bukti:

Suku banyak di atas memiliki akar-akar, yaitu  . Ini berarti bentuk f(x) dapat ditulis sebagai berikut :

sehingga:

dari persamaan ini, diperoleh :

untuk n ganjil,

sedangkan untuk n genap,

Jadi:

Dengan menerapkan lemma, maka dari persamaan (3.1) didapatkan:

sehingga diperoleh :

3.2 Metode Kedua

Prinsip akar-akar suku banyak masih diterapkan pada metoda kedua, dalam menentukan jumlah deret Euler. Perbedaannya, tidak lagi menggunakan deret pangkat sinus, melainkan mengunakan terema de Moivre. Kajian analisis kompleks, diperlukan disini. Disamping itu konsep dasar perhitungan limit fungsi (kalkulus) dan trigonometri juga diperlukan.

Teorema [3] :

                                    (3.2)

teorema di atas dikenal dengan teorema de Moivre.

Dari rumus binomial, diketahui bahwa :

          (3.3)

Dengan mengambil bagian imajinernya saja dari persamaan (3.2) dan (3.3), diperoleh :

Jika kedua ruas dibagi dengan , maka diperoleh :

Tulislah :  , sehingga:

                         (3.4)

Dengan memisalkan , persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi :

                                  (3.5)

Tulislah  , maka pembuat nol (atau akar) dari fungsi f adalah : , sehingga:

Lemma: Suku banyak f(x) berderajat n yang berbentuk :

memiliki akar-akar .

Maka :

Dengan menerapkan lemma di atas, dari persamaan (3.5) diperoleh:

Kemudian, misalkan  , sehingga diperoleh :

                            (3.6)

Perhatikan untuk , maka :

                                              (3.7)

Dengan menggunakan pertidaksamaan (3.7), didapatkan :

    (3.8)

Substitusikan persamaan (3.6) ke persamaan (3.8), sehingga diperoleh ketaksamaan:

Kemudian, kalikan dengan , sehingga didapatkan :

Substitusikan  pada ketaksamaan di atas, maka :

Perhatikan bahwa :

1.     

2.     

Berdasarkan prinsip apit (limit fungsi kalkulus) diperoleh sebagai berikut :

3.3 Metoda Ketiga

Metoda ini menggunakan bentuk genap dari deret Euler dalam menentukan jumlah. Pengetahuan dasar mengenai deret pangkat dari fungsi  dan perubahan variabel pada integral lipat dua diperlukan di sini. Pandang bentuk genap deret Euler sebagai berikut :

Jika jumlah deret Euler sama dengan E, yaitu :

Maka jumlah bentuk genap dari deret Euler adalah , yaitu :

Jadi, jumlah bentuk ganjil deret ini adalah . Atau dengan perkataan lain :

Perhatikan untuk , maka :

                                               (3.9)

sehingga:

                                          (3.10)

Dengan menggunakan persamaan (3.9) dan (3.10), diperoleh :

                                           (3.11)

Perhatikan deret taylor untuk  sebagai berikut:

Jadi:

                                 (3.12)

Dengan mensubstitusikan bentuk deret (3.12) ke persamaan (3.11), maka diperoleh:

Teorema [4] :

Misalkan D daerah di dan  pemetaan yang memiliki turunan. Misalkan pula bahwa T memiliki invers dan D^*  adalah daerah yang memenuhi  .

Misalkan  . Kemudian, untuk sebarang fungsi kontinu  berlaku :

dengan .

Kemudian, gunakan perubahan variabel sebagai berikut :

dan

sehingga:

dan determinan matriks Jacobinya adalah :

                       

Jadi:

Perubahan daerah pengintegralan dapat dilihat sebagai berikut :

y                                                                     v

 1                                                                 

                                                                   

                       1           x                                                                      u

Jadi, diperoleh :

                                                   

                                                   

Sehingga  :

3.4 Metoda Keempat

Metoda keempat ini menggunakan cara/teknik perhitungan integral tentu dari . Dari hasil perhitungan integral tentu ini, didapat hasil akhir yaitu jumlah deret Euler. Untuk menyelesaikan integral ini diperlukan teknik deret pangkat.

Pandang integral di bawah ini :

Perhatikan bahwa:  . Maka:

sehingga,

Perhatikan deter taylor untuk  sebagai berikut :

Perhitungan integral di atas diperlihatkan dibawah ini:

Karena  adalah bentuk ganjil dari deret Euler, maka . Jadi:

Dengan demikian,

Ruas kanan pada persamaan di atas merupakan bagian imajiner, dan ruas kirinya merupakan bagian real. Maka diperoleh :